أجابة السؤال األول تتحدد أى حركة دائما و ذلك بأن ننسبها الى مجموعة من المحاور و ه أما أن تكون محاور متعامدة و ه تتحدد بمجموعة المحاور الكارت ز ة.

األجابة النموذجية لمقرر ديناميكا الموائع للفرقة الرابعة علوم وكذلك األسئلة بعد األجابة أجابة السؤال األول أ- طرق دراسة الحركة للسوائل : تتحدد أى حركة دائما و ذلك بأن ننسبها الى مجموعة من المحاور x x,, x x i مثال و ه أما أن تكون محاور متعامدة و ه تتحدد بمجموعة المحاور الكارت ز ة.,y x, أو بأى مجموعة محاور أخرى منحن ة مثال أو و نرمز لها بالرمز z... و تتحرك النقطة الماد ة أو جزئ السائل بالنسبة الى هذه المجموعة من المحاور i تتؽ ر بتؽ ر الزمن أى ان داله ف اذا كانت أحداث اتها ح ث,, الزمن أى x x i i f i t i,, و بذلك من الممكن معرفة حركة الجسم اذا عرؾ قانون الحركة وجهتان نظر لدراسه الحركة عموما بالنسبة للسوائل.. و هناك أ- طريقة الجرانج Lagangian method و ه تتلخص ف تتبع حركة جزئ من السائل. أى أن هذه الطر قة تعتن بحركة كل جس م أو جزئ من السائل على حده بإعتبار أن أحداث ات هذا الجزئ دوال ف الزمن و لوصفه ف لحظة سابقة. أى أنه بفرض أن عند اللحظة فإنه عند أى لحظة ستكون ف المتؽ رات عند t o t o كانت احداث ات الجزئ ه (,, ) او a, b, c ه t x x,, x t o أى,, و هذه سوؾ تتع ن كدوال ف الزمن و

x x x,,, t,..., t,,, t,, تسمى,t بمتؽ رات الجرنج. و تكون مركبات السرعة و العجلة كالتالى u x t x, v t x w t, f x u t x t و هكذا..., ب-طريقة اويلر Eule's methods اما اذا كان اهتمامنا ل س بتار خ الحركة لجزئ منفرد و لكن بماذا حدث ف لحظات مختلفة من الزمن عند نقط هندس ة ف الفراغ بالنسبة الى أحداث ات ما و لتكن إحداث اتها x, x x فهذه ه وجهه نظر او لر., فمثال نختار نقطة ما ف الفراغ لها أحداث ات x x,, x و نرى ماذا حدث عند هذه النقطة ف لحظات من الزمن هذه المتؽ رات تسمى بمتؽ رات أو لر. و من األمثلة على وجهتى نظر الجرانج و أو لر ه حركة أو إنس اب الماء ف قناه فأما أن نتبع حركة جزئ من السائل من المنبع الى المصب و هذه وجهه نظر الجرانج أو عند نقطة من القناه نتتبع ماذا حدث عندها عند لحظات متتال ة من الزمن و هذه وجهه نظر او لر. و الحركة سواء من وجهه نظر أو لر أوال جرانج تعتبر معروفه اذا علم متؽ رات الحركة ( الت هو كل ما تعلق بالخواص للسائل مثل السرعة و العجلة و الكثافة و الضؽط و درجة الحرارة,...( بداللة متؽ رات كل طر قة.

- وهذه ه الص ؽة النهائ ة لمعادلة االتصال. و هناك ص ػ اخرى مكن بها كتابة هذه المعادلة div t q o 6 q. q q. q div. و لكن فتكون معادلة اإلتصال ه q.. t q o d q. dt t و لكن من العالقة السابقة d dt. q o 7 d o dt و بذلك نحصل على الصورة التال ة لمعادلة اإلتصال إذا كان السائل ؼ ر قابل لإلنضؽاط اى ان الكثافة ثابتة. q o o div q o 8 و هذه المعادلة ف االحداث ات الكارتز ة تصبح u x v y w o z و ف االحداث ات القطب ة

o V V v V q sin sin sin. ةروصلا ذخأت ة ناوطسلإا تا ثادحلاا ف و o z V V R RV R R q z R. ة نارود ر ؼ وأ ة ماود ر ؼ لئاسلا ةكرح نوكت امدنع ةماهلا ةصاخلا ةلاحلا ف و ىأ w o ة دهج نوكت ةكرحلا هنإف ة ماود ر ؼ ةكرحلا نوكت امدنع هنا انتبثأ دق و ةعرسلا دهج هلاد دجوت ىأ ث حب V gad ىلع لصحن كلذ ىلع و 9.. o q q div ة ز تراكلا ةروصلا ف اهعضو نكم ىتلا o z y x ة بطقلا ةروصلا و o sin ) (sin sin ) ( ة ناوطسلأا ةروصلا و z R R R R نأ ىأ كلذ ىلع و.سلابلا ةلداعم ققحت. ة نومره هلاد ةلاحلا هذه ف ىمست يرا تأ نوناق ىأ قفو ةكرحلا هنكم لا لئاسلا نأ جتن اهداج إ ةقباسلا جئاتنلا نم و ققحتت نأ يرورضلا نم هنإف هنكمم ةكرحلا نوكت نأ لجلأ و, تاعرسلا ع زوتل

لباق ر ؼ ةماع ةكرح كرحت عئامل هنكمم ةكرحلا نوكت ىكل ىأ. لاصتلأا ةلداعم طرشلا نوك طاؽضنلإل.q o هلاد نإف ة ماود ر ؽلا ةكرحلل ةصاخلا ةلاحلا ف و. سلابلا ةلداعم ققحت نأ بج ةعرسلا دهج نا ىأ ةمظتنم ةكرحلا تناك اذا امأ ρ ىلع دمتعت نكل و ( نمزلا ىلع دمتعت لا نوك ف ) تا ثادحلأا o dt d لاصتلأا ةلداعم حبص و 0 o q div -ب لاوأ o U a U o a U a U q div a cos.sin sin ) ( ) ( cos ] )sin ( [sin sin ] )cos ( [ sin ) (sin sin ) (. تققحت لاصتلإا ةلداعم نأ ىأ ث ح. ةنكمم ةكرحلا. )} ( sin ) ( cos sin o e e a U e a U q e e e

q q q a U cos ( a U sin ( o ) ) q e q e q sin e sin q o و هذا عن أن الحركة ؼ ر دوران ة أجابة السؤال الثانى أ- السائل المثالى. و هو السائل الؽ ر لزج nonviscous ؼ ر قابل لإلنضؽاط. و ا ضا نعتبره كسائل T حصلنا من قبل على متجه االنحدار gad T ظهر عندنا تساؤل هل من الممكن ان نضع أى متجه للداله الق اس ة ف صورة, و هنا سوؾ gad ألى داله A x, y, z, t - ق اس ه مثال كداله ف فإذا كانت هذه الداله موجوده بح ث ان A gad A x x, A y y A, A z z 8 فإنه قال أن مجال المتجه هو مجال جهدي, تسمى بداله الجهد.

بالنسبة الى إمكان وضع متجه السرعة q الحركة ف هذه الحالة ه حركة جهد ة و الدالة بداله جهد السرعة و كون على صورة متجه إنحدار فإنه قال أن رمز لها بالرمز, v y, w z 9 و تسمى q gad u x w cuq المتجه q - الدوامة voticity سمى بمتجه الدوامه أو الدوامة فقط. خطوط الدوامة ه هذه الخطوط ف السائل الذي المماس عند أي نقطة عل ها كون ف إتجاه متجه الدوامة عند هذه النقطة. و خطوط الدوامة سوؾ تتحرك مع السائل و مكن اثبات ذلك. إذا كان متجه الدوامة ال ساوى الصفر فإنه قال أن الحركة دوام ة أو دوران ة. أما اذا كان متجه الدوامة w o فإنه قال أن الحركة ؼ ر دوران ة و ذلك عند نقطة السائل الذي w o و ف هذه المنطقة لن توجد خطوط دوام ة. الحل ب- واضح أن هذه المركبات ال تتوقؾ على الزمن أى أن الحركة مستقرة steady motion و ف هذه الحالة تنطبق

معادلة المسار على معادلة الخطوط االنس اب ة و من الواضح أن الحركة مستو ة ح ث w o معادلة الخطوط االنس اب ة و بالتكامل dx dy u v dx dy y x xdx ydy o x y c ح ث c ثابت و بذلك نجد أن معادلة الخطوط االنس اب ة ه معادلة مجموعة من الدوائر المتحدة المركز و هو نقطة األصل أجابة السؤال الثالث - الشروط الحدية على السطوح الصلبة أ- ال وجد إنس اب للمائع خالل السطوح الصلبة أى ال مكن للسائل أن خترق السطوح الصلبة و الذي وجد بداخله المائع. مركبة سرعة المائع العمود ة على السطح عند أى نقطة.تساوى مركبة السرعة العمود ة للسطح الصلب عند هذه النقطة

متجه الوحدة العمودي على. إذا كانت حركة المائع ؼ ر دوران ة الشروط اإلبتدائية ب-إذا كان المائع الحق ق ( ؼ ر مثالى (. المركبة المماس ة لسرعة المائع و سرعة السطوح الصلبة تكون واحدة عند أى نقطة من السطح نظرا للزوجة. و ف حالة عدم تحرك السطح الصلب أى تكون سرعته تساوى صفر تكون سرعة المائع المماس ة مساو ة للصفر و سمى هذا الشرط بشرط عدم اإلنزالق. ج- إذا كان المائع مثالى فإن مركبة السرعة المماس ة للمائع تختلؾ عن سرعة السطح الصلب و مكن تع ن السرعة المماس ة للمائع بحل المسألة. و ف هذه الحاله توافر شرط اإلنزالق ال وجد أى شروط بالنسبة للقابل ة لإلنضؽاط ف حالة الموائع المثال ة. - إذا كان المائع ساكنا ف الماالنها ة إذا كان تحرك بسرعة ف اتجاه محور - ف حالة حركة المائع ؼ ر دوران ة أى أنها حركة ذات جهد

ف حالة المائع ساكن إذا كان اللؾ مساو ا للصفر حول اى منحنى مؽلق و ال وجد اى منبع أو مصب خط, ح نئذ - طاقة حركة المائع ب- ρ أ ضا نأخذ محور ف إتجاه السرعة الحركة متماثلة حول هذا المحور. بإستخدام االحداث ات الكرو ة ال تعتمد على منتظمة. و لكن تعتمد على. إذا كانت تعتمد على و ح ث أن الحركة تعتمد على فقط

ه تحقق معادلة البالس و الشروط الحد ة بفرض أن على الصورة و هذا نتج أ ضا ناتج من المعادلة ) ( نحصل على بنفس الطر قة السابقة و بإستخدام الشروط الحد ة و هذا هو جهد السرعة ف هذه الحالة للحصول على طاقة حركة المائع

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( ρ) ح ث ه كتلة السائل المزاح. أجابة السؤال الرابع أ- أ- معادالت أو لر

ρ ( ) ρ المعادلة ) ( مكن كتابتها على صورة الكارت ز ة أى معادالت ق اس ة و ذلك بإستخدام األحداث ات ρ ρ المعادلة تسمى بمعادلة برنولى أو التكامل العام لبرنولى تكون الحركة جهد ة فإنها ستكون ؼ ر دوام ة أى أن صفر المعادالت ) ( ف الصورة و على ذلك تصبح [ ] و بالتكامل بالنسبة الى الموضع نجد أن ) و هذا الثابت س كون داله ف الزمن إذ أن التكامل س كون بالنسبة الى الموضع.

هذا المقدار أو التكامل سمى نتكامل الجرانج- كوش. ب-ح ث أن السرعة الزاو ة الثابتة ه على المائع. سرعة هذه النقطة, بفرض أن هو متجه موضع نقطة مركبات السرعة ه مركبات القوى الخارج ة ح ث ه عجلة الجاذب ة األرض ة لوحدة الكتل بتطب ق معادالت او لر للحركة للحصول على الضؽط و ح ث ان الحركة مستقرة ρ ρ ρ و لكن

ρ ρ ρ ρ :) أ- أجابة السؤال الخامس فيض السائل خالل اى منحنى موجود في السائل ( المعنى الطبيعي للدالة ψ عرؾ ف ض السائل خالل أى منحنى المنحنى ف وحدة الزمن موجود ف السائل بأنه حجم السائل الذي خترق ملحوظة: عندما تتكلم عن ف ض السائل خالل أى منحنى ف المستوى فإننا نقصد بذلك ف ض السائل خالل سطح إسطوانى له مقطع هو هذا المنحنى و ممتد الى الالنها ة ف اتجاه محور العمودي على المستوى و ذلك خالل وحدة األطوال من هذه االسطوانة. نفرض ان سرعة السائل ه الخارج.. نفرض أن هو متجه الوحدة العمودي على المنحنى الى. بذلك تكون مركبة سرعة السائل ف إتجاه عمودي على المنحنى ه ) ( بأخذ عنصر من المنحنى فإن حجم السائل الذي خترق مساحة من اإلسطوانة الالنهائ ة على ه ئة مستط ل طوله ساوى طول الوحدة من األسطوانة و عرضه

ساوي طول الجزء من مقطع االسطوانة اى طول و ذلك ف وحدة الزمن هو من المنحنى الموجود ف المستوى ( ) بذلك كون الحجم الكل الذي خترق األسطوانة الت طولها الوحدة و مقطعها هو المنحنى خالل وحدة الزمن هو ( ) و لكن المتجه هو متجه الوحدة العمودي على المنحنى الى الخارج و هذا المتجه كما هو ه زاو ة م ل المماس على الرأس الى أسفل ح ث واضح من الرسم سوؾ م ل بزاو ة للمنحنى ف كون ألن طوله الوحدة أى أما المتجه فهو و على ذلك كون الف ض للسائل خالل المنحنى هو ( )

و بالتعو ض من معادلة كوش ر مان ) ( الف ض هو بدال من بداللة األنس اب نحصل على أي أن حجم السائل الذي خترق المنحنى ف وحدة الزمن ساوي الفرق ب ن دالت اإلنس اب عند نها ة و بدا ة المنحنى. أى عتمد فقط على ق مة دالة االنس اب عند نها ت المنحنى. ب-أ- اإلنسياب المنتظم في خط مستقيم : لنفرض أن اإلنس اب المستوي لمائع عطى بدالة جهد السرعة اآلت ة ح ث عددان حق ق ان ثابتان موجبان. فلك ندرس هذا اإلنس اب تفاضل الدالة بالنسبة لكل من فنجد أن أى أن مركبت السرعة ف إتجاه المحور ن هما

و هما ثابتان. و أن السرعة المحصلة و ه ثابتة و تصنع مع محور زاو ة ظلها و اآلن نوجد الخطوط اإلنس اب ة كاآلتى: الخطوط اإلنس اب ة ه أى هى و هذه المعادلة تمثل مجموعة من الخطوط المستق مة المتواز ة صنع كل منها زاو ة محور ح ث. مع و موضح بالرسم خطوط تساوى الجهد و خطوط تساوى الجهد ه بخطوط منقطة و خطوط األنس اب بخطوط متصلة. وواضح أن تساوي الجهد متعامد مع خطوط اإلنس اب. - حالة خاصة ) :( إذا كان اإلنس اب مواز ا المحور كان - حالة خاصة ) :( إذا كان اإلنس اب مواز ا لمحور كان

أجابة السؤال السادس أ-- الحركة غير دورانية Iotational motion P نفرض O نقطة ثابتة, أي نقطة من نقط الجزء الذي ف ه الحركة للسائل ؼ ر دوام ة ( ؼ ردوران ة( O سوؾ نوصل النقطة P بالنقطة بالمنحن ن OBP,OAP و كل منهم قع أ ضا ف جزء السائل الذي ف ه الحركة ؼ ر دوام ة. سنطبق نظر ة ستوكس على المنحنى المؽلق OAPBO ف كون OAPBO OAPBO q ds. S n. qds ح ث S أى سطح مكن إنشاؤه على المنحنى OAPBO بح ث قع كله ف جزء السائل الذي ف ه الحركة ؼ ر دوام ة و بما ان الحركة ؼ ر دوام ة ف كون متجه الدوام ة ساوي الصفر w q cuq o بذلك نستنتج أنه من إذا كانت الحركة ؼ ر دوام ة ف كون اللؾ السائل ساوى صفر. حول أى منحنى مؽلق موجود داخل و لكن من

OAPBO q. ds OAP ABO q. ds OBP q. ds PBO q. ds PBO q. ds o q. ds say P ح ث P ( و موضع P أى داله ق اس ة الت ق متها تعتمد فقط على موضع النقطة O أ ضا ) و لكن ال تعتمد على أخت ار الطر ق من P قر بة جدا من Oالنقطة الثابتة Qنختار نقطة أخرى. P الى q ح ث انه مكن اعتبار أن متجه السرعة فف هذه P بالنسبة الى Q هو متجه موضع الحالة مكن كتابة العالقة التقر ب ة االت ة: و لنفرض أن PQ ثابت ف إتجاه q. q. ds Q P PQ 4 Q O Q ألن التكامل من P و من الى الى نتج العالقة ساوي التكامل من الى مطروحا منه التكامل من. 4 P O و لكن من العالقة التقر ب ة Q P 5. P 5, و بالتعو ض من 4 نتج أن.q. P ح ث أننا وضعنا P ألن أى نقطة اخت ار ة عامة. و لكن هذه العالقة صح حة مهما كانت ق مة المتجه الصؽ ر. بذلك نستنتج أن q gad 6

تسمى بداله جهد السرعة. بذلك نستنتج أنه " ح ث تكون الحركة ؼ ر دوران ة فإن الحركة جهد ة أى مكن وضع متجه السرعة على صورة إنحدار لداله ق اس ة " و العكس صح ح أى: " اذا كانت الحركة جهد ة أى أن السرعة جهد ة أى مكن وضعها على صورة فإن حركة السائل تكون ؼ ر دوام ة أو ؼ ر دوران ة. ألن q gad w cuq q o و كما عرفنا سابقا من خواص متجه اإلنحدار فإن السطوح = ثابت أى سطوح تساوى الجهد. تكون عمود ة على q gad ب- - نفرض أن الحركة المستو ة معطاه بدالة الجهد ح ث ثابت حق ق موجب أى أن و العكس صح ح إذا أن جب أن نالحظ انه إذا عرفت أمكن معرفة و بالتكامل نجد أن ح ث ) ( دالة ف فقط و بالتعو ض عن من

و لتع ن الدالة ) ( ( دالة ف فقط( نفاضل بالنسبة الى فنجد أن و لكن و بالتعو ض ف ) ( نجد أن و بما أن الثابت إخت اري ف مكن أخذ بالصورة معادلة الخطوط اإلنس اب ة ه أى ه ح ث ثابت. أى ان مجموعة الخطوط اإلنس اب ة عبارة عن مجموعة من القطوع الزائدة خطوطها التقر ب ة ه محاور األحداث ات.

و إذا كانت فإن ف الربع ن األول و الثالث. تكونان موجبت ن معا أو بسالبت ن معا و تبع فرعا القطع الزائدة و إذا كانت فإن فرع القطع الزائد قعان ف الربع ن الثان و الرابع. و تسمى و إذا كانت فإن خطوط اإلنس اب ة مثلها محورا االحداث ات عندئذ بالخطوط اإلنس اب ة الصفر ة ( أى المناظرة للق مة ) و النقطة التى تكون عندها السرعة مساو ة الصفر تسمى بالنقطة الحرجة. و إل جاد إتجاه اإلنس اب نعتبر نقطة ما النقطة كون على محور ح ث عند هذه اى أن السرعة عند تكون ف اإلتجاه السالب لمحور بثابت نحصل على منحن ات تساوي الجهد و ه : و كون اإلنس اب كما ف الشكل ) ( و إذا ساو نا وواضح أنها عبارة عن مجموعة من القطوع الزائدة تتعامد مع المجموعة مجموعة الخطوط اإلنس اب ة. أى مع و خطوط تساوي الجهد مب نة ف شكل ) ( بخطوط منقطة. و إذا اخذنا الجزئ ن الموجب ن من المحور ن الس ن و الصادي ( و ه الخطوط اإلنس اب ة الصفر ة( كحائط ن صلب ن ( كمستو ن جاسئ ن( و هذا مكن عمله دائما ف حالة المائع المثال بسبب عدم وجود اللزوجة, فإن اإلنس اب تحت األعتبار مثل إنس ابا داخل زاو ة قائمة كما ف شكل ) (.

شكل ) ( شكل ) ( و لنبحث اآلن تدفق المائع خالل منحنى إخت اري ) ( واضح أن ف هذه الحالة كون: ح ث نها تاه هما و هذا ما جب ان كون إذا أن تتعامد مع الخط اإلنس اب و الذي شمل خط ن مستق م ن أى أن حجم المائع الذي دخل خالل فترة زمن ة ما خالل المنحنى ف المنطقة ساوي حجم المائع الخارج من هذه المنطقة نفسها خالل الفترة الزمن ة. أنتهت األجابة نموذج األسئلة جامعة بنها كلية علوم بنها قسم رياضيات الفرقة الرابعة رياضيات ديناميكا الموائع نظام قديم الفصل الثانى 0/0 الزمن ساعات األربعاء 0/5/ -: أجب عن خمسة أسئلة فقط مما يلى )الدرجه الكلية 0 درجة موزعة بالتساوى( 0 -أكتب ماتعرفه باختصارعن :- طرق دراسة حركة الموائع- الصور المختلفة لمعادلة األتصال. ب-اذا كانت احداثيات كروية قطبية.أثبت أن السرعة المعطاة بالصورة φ ( حيث ) تمثل حركة ممكنة للسائل.أثبت أن الحركة غير دورانية.

أ- أ- - أ- اذكر ماتعرفه عن المائع المثالى- الدوامة الحركة الجهدية. -: ب اذا كانت مركبات السرعة لمائع غير قابل لألنضغاط هى حيث ثابت,ادرس الحركة من حيث هل الحركة ممكنة- خطوط المسار. دورانية- معادلة خطوط األنسياب- - أ-أكتب ماتعرفه باختصارعن :-الشروط األبتدائية والشروط الحدية على السطوح الصلبة للموائع- طاقة حركة مائع يتحرك حركة غير دورانية. ب-كرة نصف قطرها تتحرك بسرعة فى سائل ساكن, اذا كانت الحركة غير دورانية أستنتج دالة جهد السرعة,ثم أثبت أن طاقة حركة السائل هى حيث كتلة السائل المزاح. معادالت حركة مائع غير لزج)معادالت أويلر (-معادلة برنولى تكامل 4- أ-أكتب بدون برهان :- الجرانج كوشى. ب- اذا دار مائع كجسم متماسك بسرعة زاوية ثابتة حول محور الرأسى وكانت قوة الجاذبية األرضية هى القوة الوحيدة الخارجية المؤثرة على المائع.أوجد الضغط الواقع على المائع. وفيض المائع خالل أى 5 -عرف الحركة فى بعدين ثم استنتج العالقة بين دالة األنسياب ψ منحنى. ب ادرس حركة المائع الذى دالة جهد السرعة له هى موجبان ثابتان,موضحا خطوط األنسياب- خطوط تساوى الجهد ومحصلتهما وكذلك اتجاهها- ماذا يمثل هذا األنسياب مع الرسم. حيث عددان حقيقيان مركبات السرعة فى اتجاه المحورين - أثبت أنه اذا كانت الحركة غير دورانية فان الحركة الناتجة تكون جهدية والعكس صحيح. 6 ب ناقش حركة المائع الذى دالة جهد السرعة له على الصورة( ( حيث حقيقى موجب مبينا خطوط األنسياب واتجاهها- خطوط تساوى الجهد خط األنسياب الصفرى ماذا يمثل هذا األنسياب مع الرسم. عدد مع أطيب تمنياتى بالتوفيق ا.د/ محمود عبد العاطى